## Chapter 17Data.Complex

module Data.Complex (
Complex(:+),  realPart,  imagPart,  mkPolar,  cis,  polar,  magnitude,
phase,  conjugate
) where

### 17.1 直交形式

 data RealFloat a => Complex a
 = !a :+ !a forms a complex number from its real and imaginary rectangular components.

Complex numbers are an algebraic type.

For a complex number z, abs z is a number with the magnitude of z, but oriented in the positive real direction, whereas signum z has the phase of z, but unit magnitude.

 instance RealFloat a => Eq (Complex a) instance RealFloat a => Floating (Complex a) instance RealFloat a => Fractional (Complex a) instance RealFloat a => Num (Complex a) instance (Read a, RealFloat a) => Read (Complex a) instance RealFloat a => Show (Complex a)

 realPart :: RealFloat a => Complex a -> a
Extracts the real part of a complex number.

 imagPart :: RealFloat a => Complex a -> a
Extracts the imaginary part of a complex number.

### 17.2 極形式

 mkPolar :: RealFloat a => a -> a -> Complex a
Form a complex number from polar components of magnitude and phase.

 cis :: RealFloat a => a -> Complex a
cis t is a complex value with magnitude 1 and phase t (modulo 2⋆pi).

 polar :: RealFloat a => Complex a -> (a, a)
The function polar takes a complex number and returns a (magnitude, phase) pair in canonical form: the magnitude is nonnegative, and the phase in the range (-pi, pi]; if the magnitude is zero, then so is the phase.

 magnitude :: RealFloat a => Complex a -> a
The nonnegative magnitude of a complex number.

 phase :: RealFloat a => Complex a -> a
The phase of a complex number, in the range (-pi, pi]. If the magnitude is zero, then so is the phase.

### 17.3 共役

 conjugate :: RealFloat a => Complex a -> Complex a
The conjugate of a complex number.

### 17.4 仕様

module Data.Complex(Complex((:+)), realPart, imagPart, conjugate, mkPolar,
cis, polar, magnitude, phase)  where

infix  6  :+

data  (RealFloat a)     => Complex a = !a :+ !a  deriving (Eq,Read,Show)

realPart, imagPart :: (RealFloat a) => Complex a -> a
realPart (x:+y)        =  x
imagPart (x:+y)        =  y

conjugate      :: (RealFloat a) => Complex a -> Complex a
conjugate (x:+y) =  x :+ (-y)

mkPolar                :: (RealFloat a) => a -> a -> Complex a
mkPolar r theta        =  r ⋆ cos theta :+ r ⋆ sin theta

cis            :: (RealFloat a) => a -> Complex a
cis theta      =  cos theta :+ sin theta

polar          :: (RealFloat a) => Complex a -> (a,a)
polar z                =  (magnitude z, phase z)

magnitude :: (RealFloat a) => Complex a -> a
magnitude (x:+y) =  scaleFloat k
(sqrt ((scaleFloat mk x)^2 + (scaleFloat mk y)^2))
where k  = max (exponent x) (exponent y)
mk = - k

phase :: (RealFloat a) => Complex a -> a
phase (0 :+ 0) = 0
phase (x :+ y) = atan2 y x

instance  (RealFloat a) => Num (Complex a)  where
(x:+y) + (x':+y') =  (x+x') :+ (y+y')
(x:+y) - (x':+y') =  (x-x') :+ (y-y')
(x:+y) ⋆ (x':+y') =  (x⋆x'-y⋆y') :+ (x⋆y'+y⋆x')
negate (x:+y)     =  negate x :+ negate y
abs z             =  magnitude z :+ 0
signum 0          =  0
signum z@(x:+y)   =  x/r :+ y/r  where r = magnitude z
fromInteger n     =  fromInteger n :+ 0

instance  (RealFloat a) => Fractional (Complex a)  where
(x:+y) / (x':+y') =  (x⋆x''+y⋆y'') / d :+ (y⋆x''-x⋆y'') / d
where x'' = scaleFloat k x'
y'' = scaleFloat k y'
k   = - max (exponent x') (exponent y')
d   = x'⋆x'' + y'⋆y''

fromRational a    =  fromRational a :+ 0

instance  (RealFloat a) => Floating (Complex a)       where
pi             =  pi :+ 0
exp (x:+y)     =  expx ⋆ cos y :+ expx ⋆ sin y
where expx = exp x
log z          =  log (magnitude z) :+ phase z

sqrt 0         =  0
sqrt z@(x:+y)  =  u :+ (if y < 0 then -v else v)
where (u,v) = if x < 0 then (v',u') else (u',v')
v'    = abs y / (u'⋆2)
u'    = sqrt ((magnitude z + abs x) / 2)

sin (x:+y)     =  sin x ⋆ cosh y :+ cos x ⋆ sinh y
cos (x:+y)     =  cos x ⋆ cosh y :+ (- sin x ⋆ sinh y)
tan (x:+y)     =  (sinx⋆coshy:+cosx⋆sinhy)/(cosx⋆coshy:+(-sinx⋆sinhy))
where sinx  = sin x
cosx  = cos x
sinhy = sinh y
coshy = cosh y

sinh (x:+y)    =  cos y ⋆ sinh x :+ sin  y ⋆ cosh x
cosh (x:+y)    =  cos y ⋆ cosh x :+ sin y ⋆ sinh x
tanh (x:+y)    =  (cosy⋆sinhx:+siny⋆coshx)/(cosy⋆coshx:+siny⋆sinhx)
where siny  = sin y
cosy  = cos y
sinhx = sinh x
coshx = cosh x

asin z@(x:+y)  =  y':+(-x')
where  (x':+y') = log (((-y):+x) + sqrt (1 - z⋆z))
acos z@(x:+y)  =  y'':+(-x'')
where (x'':+y'') = log (z + ((-y'):+x'))
(x':+y')   = sqrt (1 - z⋆z)
atan z@(x:+y)  =  y':+(-x')
where (x':+y') = log (((1-y):+x) / sqrt (1+z⋆z))

asinh z        =  log (z + sqrt (1+z⋆z))
acosh z        =  log (z + (z+1) ⋆ sqrt ((z-1)/(z+1)))
atanh z        =  log ((1+z) / sqrt (1-z⋆z))